「サイトスワップの作り方」の頁で、カスケードやファウンテンの図の矢印の先を何回かつなぎかえていけば全てのサイトスワップが生み出せると書きました。このことは自分で作ってみれば簡単に確認できます。
結局は、２つの矢印のつなぎかえから成り立っている訳です。
「サイトスワップの作り方」の頁で、はじめ、矢印をつなぎかえて「３・３・３・３・３・３」の部分を「５・３・１・３・３・３」にしました
ここで数字の和に着目して下さい。始めの「３」が「５」になりましたが、３つめの「３」が「１」になったため、数字の和は１８のままで変化していません。
次にさらに矢印をつなぎかえて「５・３・１・３・３・３」の部分を「４・４・１・３・３・３」にしました。
このとき、「５」は「４」になりましたが、次の「３」は「４」になったため、数字の和は１８のままです。矢印を交換するということは、片方の矢印の数字が増えた同じ分だけ、もう片方の矢印の数字が減るということなので、当然その和は一定です。
数字を足した和が一定だということは、その数字の平均値が一定だということです。結局は３ボールカスケード「３・３・３・３・３・３・・・」と同じですから、数字の平均値は３になります。同様にして、４ボールの全てのパターンは４ボールファウンテンと数字の平均値が同じで４になり、５ボールでは５になり・・、というように数字の平均値がボールの数と等しくなります。
（ちなみに、サイトスワップ数で記述したシンクロパターンでも成り立ちます。）
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